tokenpocket官网安卓版下载|合数质数是什么意思?

作者: tokenpocket官网安卓版下载
2024-03-12 15:02:42

什么是质数与合数？ - 知乎

什么是质数与合数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册什么是质数与合数？易考360管理类联考易考360管理类联考考研辅导什么是质数？什么是合数？1是质数吗？2是合数吗？联考中经常考哪些数？这些看似基础却又经常搞错的数学知识点，常令考生在考试中失分，今天就带大家捋一捋！质数：只有1和它本身两个因数（约数），那么这样的数叫做质数。比如7，只有1和7两个约数。合数：除了能被1和它本身整除，还能被其他的正整数整除，那么这样的数叫做合数。比如8，有1、2、4和8四个约数。所以说，因数个数为2，则是质数；因数个数大于2，则是合数。那“1”因数只有1个，是质数还是合数呢？答案是，既不是质数也不是合数，因为它只有本身一个因数，不符合质数和合数两个定义。在联考中会考啥？怎么考呢？1、30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。2、2是唯一一个偶数质数，且常作为考点！其他质数均是奇数！例：如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个数是2！如果三个质数之和为偶数，那么其中必有一个数是2！同学们能绕过来吗？接下来让我们看一道例题，联考是怎么考的呢？例：设m、n是小于20的质数，满足条件|m-n|=2的{m，n}共有（）。A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 E.8组答案解析：C。枚举思维（20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19），显然，有3,5；5,7；11,13；17,19。共4组，这里要弄清楚3,5和5,3是一样的，集合数数列的区别，有序与无序！若问的是m，n取值有集中情况，则为8种。怎么样，同学们都清楚了吗？编辑于 2022-04-08 11:01数学赞同 5添加评论分享喜欢收藏申请

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数论 - 质数与合数 - 知乎

数论 - 质数与合数 - 知乎首发于Tiger爱数学切换模式写文章登录/注册数论 - 质数与合数Tiger数学爱好者，微信公众号“老虎科学探秘”在自然数中有一类数非常特殊，它们叫质数又叫素数。质数指那些大于1的，且除了1和它自身之外再没有其它约数的自然数。合数是指除了1和它自身之外还有其它约数的自然数。自然数1既不是质数也不是合数。100以内的质数有25个，{2、3、5、7、11......}，2是质数中唯一的偶数。质数在自然数的世界中承担着重要的角色，就像元素对于化学或者粒子对于物理一样，从一定的的意义上讲，自然数是由素数构成的。为什么这么讲呢？我们看一下算数基本定理：大于1的自然数n都可以分解成有限个质数的乘积n=p1^a1 x p2^2 x ...x pn^an; p1、p2、......、pn都是质数，a1、a2、......、an都是大于0的自然数。这就是分解质因数，算数基本定理告诉我们两件事：对于任一大于1的自然数，一定可以分解成以上的形式对于任一大于1的自然数，这个分解形式具有唯一性（不计质数的排列次序）质数是不是有限个？当然不是，我们看看欧几里得是怎么证明的：假设质数个数是有限的，有n个，把所有的质数有小到大排列p1、p2、......、pn存在N=p1 x p2 x......x pn +1, N一定大于pn如果N是质数，说明存在一个大于pn的质数N；如果N是合数，那么N一定可以被某个质数整除，但所有的n个质数p1、p2、......、pn都不能整除N，因为它们除N都余1，一定在n个质数之外还有质数，所以假设不成立，质数有无限多个。来个题玩玩：证明存在自然数n，使得n+1、n+2、......、n+2019都是合数。其实只需使得n=2020!+1，那么2020!+2、2020!+3、......、2020!+2020都是合数。这个证明很容易，但结论却很有趣，换句话说，你总可以找到任意多个连续的自然数，它们中都不会出现质数。再来一个：从1~100，任意取一些不同的数相乘使得它们的乘积是平方数，有多少种取法？关\注\公\众\号“老虎科学探秘”后台回复191128，我们来对对答案吧！编辑于 2020-05-06 17:15初等数论小学奥数初中数学赞同 253 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录Tiger

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合数（数字分类基础概念）_百度百科

字分类基础概念）_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心合数是一个多义词，请在下列义项上选择浏览（共2个义项）展开添加义项合数[hé shù]播报讨论上传视频数字分类基础概念收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。中文名合数外文名Composite number适用领域(威尔逊定理)应用学科数学性质大于1且除1和这个数本身，还能被其他正整数整除的整数类型数字分类基础概念所属范围自然数目录1定义2性质3类型4相关▪质数▪算术基本定理定义播报编辑合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。 [1]性质播报编辑所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):类型播报编辑合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，（其中μ为默比乌斯函数且''x''为质因数个数的一半），而前者则为注意，对于质数，此函数会传回 -1，且。而对于有一个或多个重复质因数的数字''n''，。另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数，其因数有。一数若有著比它小的整数都还多的因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。相关播报编辑质数只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个因数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25个。质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里P1判断质数的几种方法 - 峰子_仰望阳光 - 博客园

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判断质数的几种方法

　　根据维基百科定义，质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数在公钥加密算法（如RSA）中有重要的地位。

　　下边将会介绍几种较为常见的判断质/素数的方法：

　 1. 法一：最直接也最笨的方法

　　法一是按照质数的定义来考虑的，具体程序见下：

1 //*********************************** method 1 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_1(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 for (uint i = 2; i < num - 1; i++)

6 {

7 if (num % i == 0)

8 {

9 ret = false;

10 break;

11 }

12 }

14 return ret;

15 }

　 2. 法二：将循环判断次数减少一半（大约）

　　对于一个正整数num而言，它对(num/2, num)范围内的正整数是必然不能够整除的，因此，我们在判断num的时候，没有必要让它除以该范围内的数。代码如下：

1 //*********************************** method 2 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_2(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 uint ubound = num / 2 + 1;

6 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

7 {

8 if (num % i == 0)

9 {

10 ret = false;

11 break;

12 }

13 }

15 return ret;

16 }

　 3. 法三：在法二的基础上继续提高

　　对于一个小于num的正整数x，如果num不能整除x，则num必然不能整除num/x （num = num/x * x）。反之相同。我们又知num =√num*√num。如果n除以大于√num的数，必得到小于√num的商，而小于√num的整数已经在2到√num的整数试过了，因为就没有必要再试（√num, num）范围内的数了。代码如下：

　　注：经常会看到别人说“一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过sqrt(n)”。这句话是错误的。举一个例子，16的因子包括了1、2、4、8，但很明显8>√16。另外，因子跟因数是不一样的，因数还会包括数本身，如16的因数为1、2、4、8、16。

1 //*********************************** method 3 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_3(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 uint ubound = sqrt(num) + 1;

6 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

7 {

8 if (num % i == 0)

9 {

10 ret = false;

11 break;

12 }

13 }

15 return ret;

16 }

　 4. 法四：考虑偶数的因素

　　我们都知道，除了2之外，其他所有的偶数（正整数）全都不是质数，因为它们都能被2整除。代码改进如下：

1 //*********************************** method 4 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_4(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 if (num == 2)

6 return ret;

8 // it is no need to consider even numbers larger than 2

9 if (num % 2 != 0)

10 {

11 uint ubound = sqrt(num) + 1;

12 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

13 {

14 if (num % i == 0)

15 {

16 ret = false;

17 break;

18 }

19 }

20 }

21 else

22 {

23 ret = false;

24 }

26 return ret;

27 }

　 5. 法五：埃拉托斯特尼筛选法

　　当我们判断某个取值范围内的素数有哪些的时候，有一个方法非常可行，就是埃拉托斯特尼筛选法。这个算法效率很高，但占用空间较大。

　　我们知道，一个素数p只有1和p这两个约数，并且它的约数一定不大于其本身。因此，我们下边方法来筛选出来素数：

　　1）把从2开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列；　　2）剩下的数中选择最小的素数，然后去掉它的倍数。

　　3）依次类推，直到循环结束。

　　这种筛选法动态图如下：

　　程序如下：

1 //*********************************** method 5 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_5(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 isprime.push_back(true);

13 for (int i = 2; i < ubound; i++)

14 {

15 for (int j = i + i; j < ubound; j += i)

16 {

17 isprime[j] = false;

18 }

19 }

21 vector ret;

22 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

23 {

24 if (i != 0 && i != 1 && isprime[i])

25 ret.push_back(i);

26 }

28 return ret;

29 }

　6. 法六：去除法五中不必要的循环

　　对于法五来说，即使isprime中已经被判断为false的元素，它以及它的倍数还会被重新赋值为false（可能会有很多遍），而实际上已经没有必要这样子做。例如，第2个元素的倍数第4、6、8、10...个元素已经被判定为false，但循环到第4个元素的时候，第8、12、16...个元素还会被重新赋值，这有点重复。因此，我们要去掉这些重复的工作。代码比较简单，只需要加一语句即可，见下：

1 //*********************************** method 6 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_6(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 {

12 if (i < 2)

13 isprime.push_back(false);

14 else

15 isprime.push_back(true);

16 }

18 for (int i = 2; i < ubound; i++)

19 {

20 if (isprime[i])

21 {

22 for (int j = i + i; j < ubound; j += i)

23 {

24 isprime[j] = false;

25 }

26 }

27 }

29 vector ret;

30 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

31 {

32 if (isprime[i])

33 ret.push_back(i);

34 }

36 return ret;

37 }

　 7. 法七：大综合（结合法三及法六）

　　法七是结合了法三及法六，代码如下：

1 //*********************************** method 7 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_7(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 {

12 if (i < 2)

13 isprime.push_back(false);

14 else

15 isprime.push_back(true);

16 }

18 uint ulimit = sqrt(ubound) + 1;

19 for (int i = 2; i < ulimit; i++)

20 {

21 if (isprime[i])

22 {

23 uint repeat = ubound / i;

24 for (int j = 2; j < repeat; j++)

25 {

26 isprime[i * j] = false;

27 }

28 }

29 }

31 vector ret;

32 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

33 {

34 if (isprime[i])

35 ret.push_back(i);

36 }

38 return ret;

39 }

　　整个程序代码（包括单元测试代码）见Github.

　　更多的方法请参见百度文库上的一篇文章。

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　　下边将会介绍几种较为常见的判断质/素数的方法：

　 1. 法一：最直接也最笨的方法

　　法一是按照质数的定义来考虑的，具体程序见下：

1 //*********************************** method 1 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_1(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 for (uint i = 2; i < num - 1; i++)

6 {

7 if (num % i == 0)

8 {

9 ret = false;

10 break;

11 }

12 }

14 return ret;

15 }

　 2. 法二：将循环判断次数减少一半（大约）

1 //*********************************** method 2 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_2(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 uint ubound = num / 2 + 1;

6 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

7 {

8 if (num % i == 0)

9 {

10 ret = false;

11 break;

12 }

13 }

15 return ret;

16 }

　 3. 法三：在法二的基础上继续提高

1 //*********************************** method 3 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_3(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 uint ubound = sqrt(num) + 1;

6 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

7 {

8 if (num % i == 0)

9 {

10 ret = false;

11 break;

12 }

13 }

15 return ret;

16 }

　 4. 法四：考虑偶数的因素

　　我们都知道，除了2之外，其他所有的偶数（正整数）全都不是质数，因为它们都能被2整除。代码改进如下：

1 //*********************************** method 4 ***********************************//

2 bool IsPrime::isPrime_4(uint num)

3 {

4 bool ret = true;

5 if (num == 2)

6 return ret;

8 // it is no need to consider even numbers larger than 2

9 if (num % 2 != 0)

10 {

11 uint ubound = sqrt(num) + 1;

12 for (uint i = 2; i < ubound; i++)

13 {

14 if (num % i == 0)

15 {

16 ret = false;

17 break;

18 }

19 }

20 }

21 else

22 {

23 ret = false;

24 }

26 return ret;

27 }

　 5. 法五：埃拉托斯特尼筛选法

　　当我们判断某个取值范围内的素数有哪些的时候，有一个方法非常可行，就是埃拉托斯特尼筛选法。这个算法效率很高，但占用空间较大。

　　我们知道，一个素数p只有1和p这两个约数，并且它的约数一定不大于其本身。因此，我们下边方法来筛选出来素数：

　　1）把从2开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列；　　2）剩下的数中选择最小的素数，然后去掉它的倍数。

　　3）依次类推，直到循环结束。

　　这种筛选法动态图如下：

　　程序如下：

1 //*********************************** method 5 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_5(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 isprime.push_back(true);

13 for (int i = 2; i < ubound; i++)

14 {

15 for (int j = i + i; j < ubound; j += i)

16 {

17 isprime[j] = false;

18 }

19 }

21 vector ret;

22 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

23 {

24 if (i != 0 && i != 1 && isprime[i])

25 ret.push_back(i);

26 }

28 return ret;

29 }

　6. 法六：去除法五中不必要的循环

1 //*********************************** method 6 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_6(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 {

12 if (i < 2)

13 isprime.push_back(false);

14 else

15 isprime.push_back(true);

16 }

18 for (int i = 2; i < ubound; i++)

19 {

20 if (isprime[i])

21 {

22 for (int j = i + i; j < ubound; j += i)

23 {

24 isprime[j] = false;

25 }

26 }

27 }

29 vector ret;

30 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

31 {

32 if (isprime[i])

33 ret.push_back(i);

34 }

36 return ret;

37 }

　 7. 法七：大综合（结合法三及法六）

　　法七是结合了法三及法六，代码如下：

1 //*********************************** method 7 ***********************************//

2 // find prime numbers between [lower bound, upper bound)

3 vector IsPrime::retPrime_7(uint lbound, uint ubound)

4 {

5 assert(lbound >= 0);

6 assert(ubound >= 0);

7 assert(lbound <= ubound);

9 vector isprime;

10 for (int i = 0; i < ubound; i++)

11 {

12 if (i < 2)

13 isprime.push_back(false);

14 else

15 isprime.push_back(true);

16 }

18 uint ulimit = sqrt(ubound) + 1;

19 for (int i = 2; i < ulimit; i++)

20 {

21 if (isprime[i])

22 {

23 uint repeat = ubound / i;

24 for (int j = 2; j < repeat; j++)

25 {

26 isprime[i * j] = false;

27 }

28 }

29 }

31 vector ret;

32 for (int i = lbound; i < ubound; i++)

33 {

34 if (isprime[i])

35 ret.push_back(i);

36 }

38 return ret;

39 }

　　整个程序代码（包括单元测试代码）见Github.

　　更多的方法请参见百度文库上的一篇文章。

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怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎

怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数论素数初等数论怎么通俗的解释质数和合数？关注者3被浏览7,605关注问题写回答邀请回答好问题添加评论分享5 个回答默认排序李仲坚1948 关注质数也称素数。依整除性定义：素数只能被常数1或自己整除，不能被常数1或自己以外的其他数整除，那么，这种正整数称为素数。乘积判断：素数只能用常数1乘以自己，不能用其他数两个数的乘积替补的正整数。合数：除了能被常数1或自己整除，还能被常数1或自己以外的正整数整除。合数的乘积，除了常数1乘以自己外，还能用其他两个正整数的乘积而确定。发布于 2020-03-08 15:13赞同 3添加评论分享收藏喜欢收起罗胖子数学课堂坚持学习，坚持分享关注质数和合数最快分辨的方法是什么？6530 播放 · 1 赞同发布于 2022-06-04 15:39· 418 次播放赞同添加评论分享收藏喜欢

数论 - 质数与合数 - 知乎

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质数是什么意思?和合数的区别

来源：高三网 2021-11-29 22:49:07

[标签：高考数学数学知识点]

　　质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

　　1质数和合数的不同

　　质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。

　　这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。

　　2合数是什么意思

　　合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

　　所有大于2的偶数都是合数。

　　所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。

　　除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。

　　所有个位为4，6，8的自然数都是合数。

　　最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。

合数（数字分类基础概念）_百度百科

数论（一）质数 - 知乎切换模式写文章登录/注册数论（一）质数小螺蛎数量这一概念应该是人类能够最原始而直接地从生活中感受到的数学内容之一了。想一想我们最早接触到的数学应该就是认识数字了吧。在对自然数的研究中有一个很重要的概念，就是质数以及与其相对应的合数，这一回我们就来聊一聊质数。质因数分解在研究一个正整数时，最直接的一种方法就是将其分解(factorization)。但在分解的过程中有不同的方法，如12既可以写成2×6，也可以写成3×4。那么有没有一种方法将其分解为唯一的形式呢？答案就是继续分解，直到无法分解为止。根据算数基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）,所有大于1的自然数都可以被完全分解成质数的乘积的形式。如上面的例子，12=2×6=2×2×3；或写成12=3×4=3×2×2；我们发现这两种分解方法都得到了同样的结果。这样无法再分解的数就是质数，或称素数。而那种可以继续分解的数就是合数。这是一个比较直观的定义。准确地说，质数是除去1和它自身之外，再没有其他因数的正整数。因为1的存在，任何正整数都可以写成1乘以其自身。说到这里，想必读者对质数已有了一个直观的了解。就像我们刚刚所说的，质数的定义就是想要描述那些基本的数。质数之于合数，打个不甚恰当的比方，就好比字母相对于单词。质数作为基本的单位，可以合成各种合数；而任何合数都是由质数合成而来的。质数的英文prime number中的prime就有首要的、基本的意思。但不知为何，在汉语中prime number写成了质数。可能是prime也有优质的意思吧。只能说是中文单字命名时的一种缺陷了。而合数(composite number)就更能顾名思义了，composite即为合成的意思。质数的特征不同于英文中的字母只有有限个这一特点，质数有无限多个。这一发现早在早在公元前就被欧几里得(Euclid)提出：假设质数的个数只有有限个：2，3，5，7…p，p为最大的质数。则所有的正整数都由这些质数合成而来，也就是所有的数都可以被2，3，5，7…p中的某些数整除，那么，2×3×5×7×…×p+1这个合数肯定也能够被2，3，5，7...p中的某些数整除。但是，从2×3×5×7×…×p+1这个表达式我们就能看出来，它并不能被2，3，5，7...p中的任何数整除，也就形成了悖论，所以我们之前的假设并不成立，也就说明了一定有无限多个质数。（反证法的典型应用）质数都有哪些呢？刚才我们提到的2，3，5，7都是质数，我们可以按照质数的定义继续寻找，2，3，5，7，11，13，17，19，23...质数与质数之间看似毫无关系，但仔细观察还是能找出一些规律的。下图中列出了100以内的质数。根据算术基本定理，所有合数都能够写成质数乘积的形式，因此100以内的合数必然是2，3，5或7中的至少一个数的倍数，这是因为若非如此，则这个合数必然是大于7的质数之积，则超出了100这一范围。这也就是说，在100以内的数中，合数必为2或3或5或7的倍数。除此之外的数则为质数（习惯上规定1既不是质数也不是合数）。因为2的倍数以2、4、6、8、0结尾，5的倍数以5、0结尾，所以大于10的质数必然不第2列、第4列、第5列、第6列、第8列和第10列。其余列中在除掉3的倍数和7的倍数，剩余的则为质数。关于如何快速判断出倍数关系的问题会在以后讨论。发布于 2020-06-19 09:03数学数论赞同 104 条评论分享喜欢收藏申请

合数 - 维基百科，自由的百科全书

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1性質

2合數的類型

3腳註

4參考文獻

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合数

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用古氏積木排列出合數10的因數

合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示

在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數[1][2]。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數[3][4]。而1則被認為不是質數，也不是合數。

例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成

{\displaystyle 2\times 7}

。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS數列A002808）。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積[2]。例如，合數299可以寫成13 × 23，合數360可以寫成23 × 32 × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是算术基本定理[5][6][7][8]。

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

性質[编辑]

所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。

每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）

所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。

對任一大於5的合數

{\displaystyle n}

，

(

−

)

≡

(

mod

)

{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}

。（威爾遜定理）

對於任意的正整數

{\displaystyle n}

，都可以找到一個正整數

{\displaystyle x}

，使得

{\displaystyle x}

、

{\displaystyle x+1}

、

{\displaystyle x+2}

、…、

{\displaystyle x+n}

都是合數。

合數的類型[编辑]

100以內的过剩数、本原過剩數、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇異數和完全数的歐拉圖，以及和亏数、合数的關係

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

(

)

(

−

)

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}

（其中μ為默比烏斯函數且

{\displaystyle x}

為質因數個數的一半），而前者則為

(

)

(

−

)

−

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且

(

)

{\displaystyle \mu (1)=1}

。而對於有一個或多個重複質因數的數字

{\displaystyle n}

，

(

)

{\displaystyle \mu (n)=0}

。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數

{\displaystyle p}

的平方，其正因數有

{

}

{\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}

。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為光滑數或粗糙數。

腳註[编辑]

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)

^ 2.0 2.1 Long (1972, p. 16)

^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)

^ Herstein (1964, p. 106)

^ Fraleigh (1976, p. 270)

^ Long (1972, p. 44)

^ McCoy (1968, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

參考文獻[编辑]

Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1

Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016

Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950

McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225

Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

相關條目[编辑]

維基教科書中的相關電子教程：小学数学/质数与合数

質數

質因數

最小公倍數

最大公因數

整数分解

埃拉托斯特尼筛法

素因子表

查论编和因數有關的整數分類簡介

質因數分解

因數

元因數

除數函數

質因數

算术基本定理

依因數分解分類

质数

合数

半素数

普洛尼克数

楔形数

无平方数因数的数

冪數

質數冪

平方數

立方數

次方數

阿喀琉斯數

光滑數

正规数

粗糙數

不尋常數

依因數和分類

完全数

殆完全數

准完全数

多重完全數

Hemiperfect數

Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number）

超完全數

元完全數

半完全数

本原半完全数

實際數

有許多因數

过剩数

本原過剩數

高過剩數

超過剩數

可羅薩里過剩數

高合成数

Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number）

奇異數

和真因子和數列有關

不可及数

相亲数

交際數

婚約數

其他

亏数

友誼數

孤獨數

卓越数

歐爾調和數

佩服數

節儉數

等數位數

奢侈數

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=合数&oldid=73944684”

分类：初等数论算术整数数列

本页面最后修订于2022年10月4日 (星期二) 14:52。

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是什么意思和合数的区别_高三网资讯学习助考报考招生问答试题库作文库大学库专业库登录 | 注册高考首页语文数学英语文综历史地理政治理综物理化学生物当前位置：高三网 > 高中数学 > 正文质数是什么意思和合数的区别2021-11-22 10:55:46文/丁雪竹质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数和合数的不同质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。合数是什么意思合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。分享到推荐阅读什么是质数有哪些性质一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自...2021-09-12质数和合数的概念在现代数学中，一个大于1的自然数，除了1和它自身外...2021-03-18最小的质数是几质数是什么2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数...2021-02-169是质数吗不是质数，而是合数。质数只有两个正因数（1和自己）...2020-11-06质数是什么意思举例说明质数又称为素数，有无限个。下面是小编整理的详细内容...2020-10-21数学中质数和合数是什么意思在数学中存在着质数与合数的概念，那么质数和合数是什...2020-10-21素数是什么质数是什么素数又叫质数，质数是指在大于1的自然数中，除了1和...2020-10-02质数是什么意思与合数的不同质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外...2020-09-26质数加质数等于奇数对吗质数加质数不一定等于奇数，也可能等于偶数。例如：7...2020-06-09质数和合数的概念及联系质数又称素数，有无限个。只有两个正因数（1和自己）...2020-04-271是质数吗为什么1不是质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它...2020-02-14素数和质数的区别素数和质数是没有区别的。质数（又称素数），是指在大...2020-02-14质数和合数的概念质数就是除了本身和1以外没有其他因数的数，合数就是...2020-02-12质数和合数的口诀二三五七带十一，十三、十七计心里；十九、二三、二十...2020-02-12素数是什么和质数的区别素数一般指质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1...2020-02-10点击查看高中数学更多内容最新文章三分钟励志英语演讲稿带翻译关于自律的作文素材段落及人物事例摘抄大专转专业需要什么条件要求有哪些2021年感动中国十大人物事迹怎样才能成为学霸三天学完一本书今日精品就业前景最好的十大热门专业高三生物基础差怎么提高高一英语完形填空解题技巧高三家长与孩子沟通要注意什么高三家长鼓励孩子的期望寄语 gaosan版权© 高三网 | 吉ICP备15000740号-1gaosan.com 隶属于吉林省春雨秋风科技有限公司，其它同名网站均为侵权或假冒关于我们服务内容联系我们